Analysis

Kontext. (an)n∈N(a_n)_(n in NN) Folge mit an∈Ra_n in RR

Satz. ∑n=0∞ansum_(n=0)^infinity a_n konvergiert ⇔<=> ∀ε∈R+:∃N∈N:∀n≥m≥N:  ∣∑k=mnak∣<εforall epsilon in RR_+ : exists N in NN:forall n>=m>=N: |sum_(k=m)^n a_k|<epsilon ↪arrow.r.hook Cauchysches Konvergenz-Kriterium

Satz. ∑n=0∞ansum_(n=0)^infinity a_n konvergiert ⇒=> lim⁡n→∞an=0lim_(n->infinity) a_n = 0
↪arrow.r.hook umkehrbar für Divergenz!

Satz. ∑n=0∞(−1)nsum_(n=0)^infinity (-1)^n divergiert.

Satz. ∀an≥0forall a_n>=0 ⇒=> [∑n=0∞an konvergiert[sum_(n=0)^infinity a_n "konvergiert" ⇔<=> ∑n=0∞an beschränkt]sum_(n=0)^infinity a_n "beschränkt"]

Satz. ∑n=1∞1nsum_(n=1)^infinity 1/n (harmonische Reihe) divergiert

Satz. k∈R+k in RR_+ ⇒=> ∑n=1∞1n1+ksum_(n=1)^infinity 1/(n^(1+k)) konvergiert

Satz. k∈N+k in NN_+ ⇒=> es gibt eine explizite Formel Tk=∑n=1∞1n1+kT_k=sum_(n=1)^infinity 1/(n^(1+k)) z.B. T1=π26T3=π490T5=π6945 T_1 = pi^2/6 quad quad T_3 = pi^4/90 quad quad T_5 = pi^6/945

Satz. (an)n∈N(a_n)_(n in NN) monoton fallend, an≥0a_n>=0 ⇒=> ∑n=0∞(−1)nansum_(n=0)^infinity (-1)^n a_n konvergiert
↪arrow.r.hook Leibniz’sches Konvergenz-Kriterium

Satz. ∑n=1∞(−1)n−1nsum_(n=1)^infinity ((-1)^(n-1))/n (alternierende harmonische Reihe) konvergiert

Satz. ∑k=0∞(−1)k2k+1sum_(k=0)^infinity (-1)^k /(2k+1) (Leibnitz'sche Reihe) konvergiert, gegen π4pi/4

DEF. ∑n=0∞ansum_(n=0)^infinity a_n absolut konvergent :⇔:<=> ∑n=0∞  ∣an∣sum_(n=0)^infinity |a_n| konvergiert

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