Funktionalanalysis

Diese Liste inkludiert Wiederholungen aus der Analysis

DEF. dd Metrik auf X:⇔X :<=> ▸X Menge▸d:X×X→R▸ Symmetrie: ∀x∈X:d(x,y)=d(y,x)▸ Dreiecksungleichung: ∀a,b,c∈X:d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)▸ Nichtausgeartet:∀x,y∈X:[d(x,y)=0⇔x=y] &triangle.filled.small quad X "Menge" \ &triangle.filled.small quad d:X times X -> RR \ \ &triangle.filled.small quad "Symmetrie: " &&forall x in X: d(x,y) = d(y,x) \ &triangle.filled.small quad "Dreiecksungleichung: " &&forall a,b,c in X: d(a,b) <= d(a,c) + d(c,b) \ &triangle.filled.small quad "Nichtausgeartet:" &&forall x,y in X: [ d(x,y)=0 <=> x=y ] ⇔:(X,d)<=>: (X,d) metrischer Raum

Satz. dd Metrik auf X⇒X => Bild(d)⊆[0,∞)"Bild"(d) subset.eq [0,infinity)

Satz. dd Metrik auf X,Y⊆X⇒d∣Y×YX, Y subset.eq X => d|_(Y times Y) Metrik auf YY
↪arrow.r.hook Schreibweise: auch (Y,d)(Y,d) metrischer Raum

Satz. 𝕂∈{R,C}⇒KK in {RR,CC} =>

▸(𝕂,d) metrischer Raum mit d(x,y):=∣x−y∣▸(𝕂n,d2) metrischer Raum mit euklidischer Metrik d2(x,y):=∑j=1n  ∣xj−yj∣2▸(Z2,d) metrischer Raum mit Manhatten-/Blockmetrik d1(x,y):=∑j=1n  ∣xj−yj∣▸(𝕂2,d1) metrischer Raum mit L1-Metrik  d1(x,y):=∑j=1n  ∣xj−yj∣▸(𝕂n,dp) metrischer Raum mit Minkowski/Lp-Metrik dp(x,y):=(∑j=1n  ∣xj−yk∣p)1p▸(𝕂n,d∞) metrischer Raum mit Maximumsmetrik d∞(x,y):=max⁡i∈[n]{∣xi−yi∣}▸(X,d) metrischer Raum mit diskreter Metrik  d(x,y):={0 , falls x=y1 , sonst&triangle.filled.small quad (KK,d) "metrischer Raum mit" d(x,y):=|x-y| \ &triangle.filled.small quad (KK^n, d_2) "metrischer Raum mit euklidischer Metrik" d_2(x,y):=sqrt(sum_(j=1)^n |x_j -y_j|^2) \ &triangle.filled.small quad (ZZ^2,d) "metrischer Raum mit Manhatten-/Blockmetrik" d_1(x,y):=sum_(j=1)^n |x_j-y_j| \ &triangle.filled.small quad (KK^2,d_1) "metrischer Raum mit" L_1"-Metrik " d_1(x,y):=sum_(j=1)^n |x_j-y_j| \ &triangle.filled.small quad (KK^n,d_p) "metrischer Raum mit Minkowski/"L_p"-Metrik" d_p (x,y):= (sum_(j=1)^n |x_j - y_k|^p )^(1/p) \ &triangle.filled.small quad (KK^n,d_infinity) "metrischer Raum mit Maximumsmetrik" d_infinity (x,y):= max_(i in [n]) {|x_i-y_i|} \ &triangle.filled.small quad (X,d) "metrischer Raum mit diskreter Metrik " d(x,y) := cases(0 ", falls" x=y, 1 ", sonst")

Satz. (X,a),(Y,b)(X,a),(Y,b) metrische Räume ⇒=> (X×Y,d)(X times Y,d) metrischer Raum mit d((x,x‘),(y,y‘)):=a(x,y)+b(x‘,y‘)d((x,x`),(y,y`)):=a(x,y)+b(x`,y`)

Satz. (X,d)(X,d) metrischer Raum ⇒∀x,y,z∈X:  ∣d(x,z)−d(z,y)∣  ≤d(x,y)=> forall x,y,z in X: |d(x,z)-d(z,y)| <= d(x,y)
↪arrow.r.hook Umgekehrte Dreiecksungleichung

Kontext. (X,d)(X,d) metrischer Raum, r∈R≥0r in RR_(>=0)
DEF. Br(x):=Brd(x)B_r (x):=B_r^d (x) abgeschlossene Kugel um xx :⇔:<=> Br(x)={y∈X∣d(x,y)≤r}B_r (x) = {y in X|d(x,y)<=r}
DEF. Ur(x):=Urd(x)U_r (x):=U_r^d (x) offene Kugel um xx :⇔:<=> Ur(x)={y∈X∣d(x,y)≤r}U_r (x) = {y in X|d(x,y)<=r}