Funktionentheorie

A. Holomorphe Funktionen

Komplexe Differenzierbarkeit

DEF: ff:Ω→C:Omega->CC komplex differenzierbar in z0∈Ω:⇔z_0 in Omega:<=>
1. f´(z0):=lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0f´(z_0) := lim_(z -> z_0) (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0) existiert
2. Ω⊂COmega subset CC offen
DEF: ff holomorph auf Ω:⇔Omega :<=>
f∈O(Ω):⇔f in cal(O)(Omega):<=> ff komplex differenzierbar in jedem z∈Ωz in Omega

SATZ:: ff komplex differenzierbar in z0z_0 ⇒=> ff stetig in z0z_0

Beweis:
Zz: lim⁡z→z0f(z)=f(z0)lim_(z -> z_0) f(z) = f(z_0)
⇔lim⁡z→z0(f(z)−f(z0))=0<=> lim_(z -> z_0) (f(z) - f(z_0)) = 0
Also: lim⁡z→z0(f(z)−f(z0))lim_(z -> z_0) (f(z) - f(z_0))
=lim⁡z→z0(f(z)−f(z0)z−z0⋅(z−z0))= lim_(z -> z_0) ( (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0) dot (z - z_0) )
=(lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0)⋅(lim⁡z→z0(z−z0))= ( lim_(z -> z_0) (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0) ) dot ( lim_(z -> z_0) (z - z_0) )
=f´(z0)⋅0= f´(z_0) dot 0
=0= 0